已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA•PB的取值范围是．

Question

已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则

PA

•

PB

的取值范围是___．

Answer 1

以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，
设A（2，0），B（-1，√(3)），P（2cosθ，2sinθ）．
则

PA

=（2cosθ-2，2sinθ），

PB

=（2cosθ+1，2sinθ-√(3)）．
∴

PA

•

PB

=（2cosθ-2）（2cosθ+1）+2sinθ（2sinθ-√(3)）
=2-2cosθ-2√(3)sinθ
=2-4sin（θ+(π)/(6)）．
∴-2≤

PA

•

PB

≤6．
故答案为[-2，6]．