如图，在△ABC中，BC=6，S△ABC=12，B1C1所在四边形是△ABC的内接正方形，B2C2所在四边形是△AB1C1的内接正方形，B3C3所在四边形是△AB2C2的内接正方形，依此类推，则BnCn的长为．

Question

如图，在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，B₁C₁所在四边形是△ABC的内接正方形，B₂C₂所在四边形是△AB₁C₁的内接正方形，B₃C₃所在四边形是△AB₂C₂的内接正方形，依此类推，则B_nC_n的长为___．

Answer 1

过点A作AD⊥BC于点D，交B₁C₁于点E，交B₂C₂于点F，
∵B₁C₁所在四边形是△ABC的内接正方形，
∴B₁C₁∥BC，AD⊥B₁C₁，ED=B₁C₁，
∴△AB₁C₁∽△ABC，
∵在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，
∴AD=4，
设B₁C₁=x，则AE=4-x，
∴(AE)/(AD)=(B1C1)/(BC)，
即：(4-x)/(4)=(x)/(6)，
解得：x=(12)/(5)，
即B₁C₁=(12)/(5)；
同理：△AB₂C₂∽△AB₁C₁，
∴(AF)/(AE)=(B2C2)/(B1C1)，
∵AE=4-(12)/(5)=(8)/(5)，
∴设B₂C₂=y，则AF=(8)/(5)-y，
∴((8)/(5)-y)/((8)/(5))=(y)/((12)/(5))，
解得：y=(24)/(25)，
即B₂C₂=(24)/(25)=6×（(2)/(5)）²；
同理：B₃C₃=6×（(2)/(5)）³；
∴B_nC_n=6×（(2)/(5)）ⁿ．
故答案为：6×（(2)/(5)）ⁿ．