（2009•徐汇区二模）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交边AB于点E，交AC或延长线于点F．（1）当AE=6时，求AF的长；（2）当以点C为圆心CF长为

Question

（2009•徐汇区二模）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交边AB于点E，交AC或延长线于点F．
（1）当AE=6时，求AF的长；
（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长；
（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．

Answer 1

（1）∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠DEB，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB．
∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
∴△CDF∽△BED．（1分）
∴(CF)/(BD)＝(CD)/(BE)．
即(CF)/(4)＝(8)/(10−6)．（1分）
∴CF=8．
∴AF=AC-CF=10-8=2．（1分）

（2）分外切和内切两种情况考虑：
当⊙C和⊙A外切时，点F在线段CA上，且AF=AE，
∵AB=AC，
∴BE=CF．（1分）
∵(CF)/(BD)＝(CD)/(BE)，
∴(BE)/(BD)＝(CD)/(BE)．
即BE²=BD•CD=4×8=32，
∴BE＝4√(2)．（1分）
当⊙C和⊙A内切时，点F在线段AC延长线上，且AC=CF-AE，
∴BE=AB-AE=10-AE，CF=AC+AE=10+AE．（1分）
∵(CF)/(BD)＝(CD)/(BE)，(10+AE)/(4)＝(8)/(10−AE)，（1分）
解得AE＝2√(17)或AE=-2√(17)（舍去），
∴BE＝10−2√(17)．（1分）
∴当⊙C和⊙A相切时，BE的长为4√(2)或

作业帮用户 2016-11-30