已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：x-y-22=0相切；（1）求圆C的标准方程；（2）过点（1，3）的直线与圆C交于A、B两点，且|AB|=23，求此直线方程；（3）若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不

Question

已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l₁：x-y-2√(2)=0相切；
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点（1，3）的直线与圆C交于A、B两点，且|AB|=2√(3)，求此直线方程；
（3）若与直线l₁垂直的直线l与圆C交于不同的B、D两点，且满足∠BOD为钝角，求直线l纵截距的取值范围？

Answer 1

（1）根据题意：圆心（0，0）到直线l₁：x-y-2√(2)=0距离为圆的半径，
∴r=(2√(2))/(√(2))＝2，
∴圆C的标准方程为x²+y²=4．
（2）圆心坐标为C（0，0），半径r=2，
∵|AB|=2√(3)，∴圆心到直线l的距离d=√(4−3)＝1，
当直线斜率存在，设为k，则直线方程y=k（x-1）+3，
即kx-y+3-k=0，
圆心到直线的距离为d=(|3−k|)/(√(1+k2))＝1，
解得k=(4)/(3)，
∴直线方程为y=(4)/(3)(x−1)+3，即4x-3y+5=0．
综上，满足条件的直线方程为4x-3y+5=0或x=1．
（3）设直线方程为y=-x+b，
联立

作业帮用户 2017-11-16

问题解析

（1）由圆心（0，0）到直线l₁：x-y-2√(2)=0距离为圆的半径，由已知条件能求出圆C的标准方程．
（2）圆心坐标为C（0，0），半径r=2，设直线方程y=k（x-1）+3，由圆心到直线的距离能求出满足条件的直线方程．
（3）设直线方程为y=-x+b，联立

y＝−x+b

x2+y2＝4

，得2x²-2bx+b²-4=0，由此能求出直线l纵截距的取值范围．

名师点评

本题考点：

圆的标准方程；直线与圆的位置关系．

考点点评：

本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线的截距的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离的合理运用．

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