已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（1，3）．（1）求圆C的方程；（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线x+y-4=0的距离的最小值；（3）若直线l与圆C相切，且l与x，y轴的正半轴分别相交

Question

已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（1 ， √(3)）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线x+y-4=0的距离的最小值；
（3）若直线l与圆C相切，且l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，求△ABC的面积最小时直线
l的方程．

Answer 1

（1）由题意可得：圆C的半径为|CM|＝√(1+3)＝2，…（2分）
所以圆C的方程为x²+y²=4…（3分）
（2）圆心到直线l的距离为d＝(|−4|)/(√(12+12))＝2√(2)，…（4分）
所以P到直线l：x+y-4=0的距离的最小值为：2√(2)−2…（6分）
（3）设直线l的方程为：y=kx+b，
因为l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，所以k＜0，b＞0，且A(−(b)/(k) ， 0) ，  B(0 ， b)，
又因为l与圆C相切，
所以C点到直线l的距离等于圆的半径2，即：(|b|)/(√(k2+1))＝2⇒b2＝4k2+4，①，
因为S△ABC＝(1)/(2)(−(b)/(k))b＝(−b2)/(2k)②…（8分）
所以将①代入②得S△ABC＝(−(4k2+4))/(2k)＝2(−k+(1)/(−k))≥4√((−k)•(1)/(−k))＝4，
当且仅当k=-1时取等号，
所以当k=-1时，△ABC的面积最小，
此时b2＝4k2+4＝8，    b＝2√(2)，
所以直线l的方程为：y＝−x+2√(2)…（10分）