在平面直角坐标系xOy中,已知圆O：x2+y2=25,圆O1的圆心为O1（m,0）且与圆O交于点P（3,4）,过点P且斜率为（k≠0）的直线l分别交圆O,O1于点A,B．（1）若K=1,且BP=72,求圆O1的方程；（2）过点P作垂直于

Question

在平面直角坐标系xOy中,已知圆O：x2+y2=25,圆O1的圆心为O1（m,0）且与圆O交于点P（3,4）,过点P且斜率为（k≠0）的直线l分别交圆O,O1于点A,B．
（1）若K=1,且BP=7
2,求圆O1的方程；
（2）过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O,O1于点C,D．当m为常数时,试判断AB2+CD2是否是定值?若是定值,求出这个值；若不是定值,请说明理由

Answer 1

（1）K=1时,直线l：y-4=x-3,即x-y+1=0,
由题意得：
(
|m+1|2
)2+(
722
)2=(m-3)2+42
,
整理得,m2-14m=0,解得m=14或m=0（舍去）,
所以圆O1的方程为（x-14）2+y2=137．
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,D（x4,y4）,
直线l：y-4=k（x-3）,即y=kx-（3k-4）,
由
y=kx-(3k-4)x2+y2=25
消去y得,（k2+1）x2+（8k-6k2）x+9k2-24k-9=0,
由韦达定理得3x1=
9k2-24k-9k2+1
,
得x1=
3k2-8k-3k2+1
．
由
y=kx-(3k-4)(x-m)2+y2=(m-3)2+16
消去y得,（k2+1）x2+（8k-6k2-2m）x+9k2-24k-9+6m=0,
由韦达定理得3x2=
9k2-24k-9+6mk2+1
,
得x2=
3k2-8k-3+2mk2+1
．
所以,x1-x2=
2mk2+1
,
AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（k2+1）（x1-x2）2=（k2+1）
(
2mk2+1
)2
=
4m2k2+1
．
同理可得,CD2=
4m2k2k2+1
,
所以,AB2+CD2=
4m2k2+1
+
4m2k2k2+1
=4m2
为定值．