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已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上,以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点。(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO,求证:△CAO∽△BCO;(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP
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已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上,以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点。 (1)如图,如果AP=2PB,PB=BO,求证:△CAO∽△BCO; (2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA,OB的比例中项,当点C在圆O上运动时,求AC:BC的值(结果用含m的式子表示); (3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围。 |
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵ , ∴AO=2PO, ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , ∴ (2)设 ,则OB=x-1,OA=x+m, ∵OP是OA,OB的比例中项, ∴ 得 ,即 , ∴ ∵OP是OA,OB的比例中项,即 , ∵ , ∴ , 设圆O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P,点Q不重合时, ∵ ∴ ∴ ∴ ; 当点C与点P或点Q重合时,可得 , 当点C在圆O上运动时, ; (3)由(2)得, ,且 , ,圆B和圆C的圆心距d=BC,显然 , ∴圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含, 当圆B与圆C相交时, ,得 , , 当圆B与圆C内切时, ,得m=2; 当圆B与圆C内含时, ,得m>2。 |
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