如图：在△ABC中，∠ACB=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．（1）求证：BA•BM=BC•BN；（2）如果CM是O的切线，且M为AB的中点，当BN=4时，求MN的长．

Question

如图：在△ABC中，∠ACB=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．

（1）求证：BA•BM=BC•BN；
（2）如果CM是 O的切线，且M为AB的中点，当BN=4时，求MN的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接MN，
∵NB是 O的直径，
∴∠NMB=90°，
在△ABC和△NBM中，

∠ABC=∠NBM

∠ACB=∠NMB

，
∴△ABC∽△NBM，
∴(BA)/(BN)=(BC)/(BM)，
∴BA•BM=BC•BN；
（2）如图2，连接MO、MN，
∵∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC=MB，
∴∠MCB=∠B，
∵CM是 O的切线，
∴∠NMC=∠B，
∵∠MNB=∠NCM+∠NMC，
∴∠MNB=2∠B，
∵BN为 O的直径，
∴∠NMB=90°，
∴∠MNO=60°，
∴△MNO是等边三角形，
∴MN=2．