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如图:在△ABC中,∠ACB=90°,以BC上一点O为圆心,以OB为半径的圆交AB于点M,交BC于点N.(1)求证:BA•BM=BC•BN;(2)如果CM是O的切线,且M为AB的中点,当BN=4时,求MN的长.
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如图:在△ABC中,∠ACB=90°,以BC上一点O为圆心,以OB为半径的圆交AB于点M,交BC于点N.
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(1)求证:BA•BM=BC•BN;
(2)如果CM是 O的切线,且M为AB的中点,当BN=4时,求MN的长.
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(1)求证:BA•BM=BC•BN;
(2)如果CM是 O的切线,且M为AB的中点,当BN=4时,求MN的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,连接MN,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_918401b54865d2be730399485f409a41.jpg)
∵NB是 O的直径,
∴∠NMB=90°,
在△ABC和△NBM中,
,
∴△ABC∽△NBM,
∴
=
,
∴BA•BM=BC•BN;
(2)如图2,
连接MO、MN,
∵∠ACB=90°,M为AB的中点,
∴MC=MB,
∴∠MCB=∠B,
∵CM是 O的切线,
∴∠NMC=∠B,
∵∠MNB=∠NCM+∠NMC,
∴∠MNB=2∠B,
∵BN为 O的直径,
∴∠NMB=90°,
∴∠MNO=60°,
∴△MNO是等边三角形,
∴MN=2.
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∵NB是 O的直径,
∴∠NMB=90°,
在△ABC和△NBM中,
|
∴△ABC∽△NBM,
∴
BA |
BN |
BC |
BM |
∴BA•BM=BC•BN;
(2)如图2,
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_527d631300520870a165f4beea8c2211.jpg)
∵∠ACB=90°,M为AB的中点,
∴MC=MB,
∴∠MCB=∠B,
∵CM是 O的切线,
∴∠NMC=∠B,
∵∠MNB=∠NCM+∠NMC,
∴∠MNB=2∠B,
∵BN为 O的直径,
∴∠NMB=90°,
∴∠MNO=60°,
∴△MNO是等边三角形,
∴MN=2.
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