为什么y=1/x是双曲线啊?双曲线应该具有x~2/a~2-y~2/b~2=1或y~2/a~2-x~2/b~2=1的形式啊?

Question

为什么y=1/x是双曲线啊?双曲线应该具有x~2/a~2-y~2/b~2=1或y~2/a~2-x~2/b~2=1的形式啊?

Answer 1

可以通过直角坐标系与极坐标的关系将曲线y=1/x顺时针旋转45°化为直角坐标系下的标准形式.具体方法如下：换算关系：x=ρcosθ,y=ρsinθy=1/x即xy=1,写成极坐标形式得ρcosθρsinθ=1或ρ^2sin2θ=2顺时针旋转45°即把θ换为θ+π/4,即ρ^2sin2(θ+π/4)=2 化简得ρ^2cos2θ=2 或ρ^2[(cosθ)^2-(sinθ)^2]=2 或(ρcosθ)^2-(ρsinθ)^2=2 换回直角坐标得x^2-y^2=2,写成标准形式即x^2/2-y^2/2=1.所以曲线y=1/x和曲线x^2/2-y^2/2=1是同一条曲线,它们都是双曲线,只不过位置不同而已,但形状完全一样.如果逆时针旋转45°,则得到y^2/2-x^2/2=1,和y=1/x也是同一条曲线.通过这种方法还可以把直角坐标系下其它一些曲线旋转而得到较简单的形式.方法就这么简单：逆时针旋转α角即作代换θ→θ-α,顺时针旋转α角即作代换θ→θ+α.