过双曲线焦点F1的直线与其左右两支分别交于AB,若三角形ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为

Question

过双曲线焦点F1的直线与其左右两支分别交于A B,若三角形ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为

Answer 1

答：
双曲线为(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1
F1（-c,0）,F2（c,0）
AF2-AF1=2a
BF1-BF2=2a
两式相加：
(BF1-AF1)+(AF2-BF2)=4a
即：AB+(AF2-BF2)=4a
因为：AB=AF2=BF2
所以：AF2=BF2=4a
解得：AF1=2a,BF1=6a
因为：∠F1AF2=120°
根据余弦定理：
(F1F2)^2=(AF1)^2+(AF2)^2-2(AF1)*(AF2)*cos∠F1AF2
4c^2=4a^2+16a^2-16(a^2)*cos120°
4c^2=20a^2+8a^2=28a^2
c^2=7a^2
c=√7a
e=c/a=√7
离心率为e=√7