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函数被称为“耐克函数”.已知“耐克函数”的图象为双曲线,那么该双曲线的实轴长为()A.2B.2C.D.
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函数被称为“耐克函数”.已知“耐克函数”的图象为双曲线,那么该双曲线的实轴长为( )
A.2
B.2
C.
D.
A.2
B.2
C.
D.
▼优质解答
答案和解析
作出“耐克函数”的图象如图,结合双曲线的几何性质,得双曲线的实轴在直线y=x与x=0所成角的平分线上,如函数图象截直线而得的线段AB.利用三角函数公式算出直线的方程,再由直线方程与函数联解,即可得到A、B两点的坐标,从而得到该双曲线的实轴长.
【解析】
作出“耐克函数”的图象如图,可得
该双曲线的渐近线为直线y=x和x=0
根据双曲线的对称性,得双曲线的实轴在直线y=x与x=0所成角的平分线上,
且为角平分线被“耐克函数”截得的线段AB.
设实轴实轴所在直线为y=kx,其中k=tan67.5°
∵tan135°=tan(2×67.5°)=-1
∴由二倍角的正切公式,得=-1
解之得tan67.5°=+1
∴实轴所在直线为y=(+1)x,
由消去y,整理得x2=,代入得y2=(+1)2=+2
因此直线y=(+1)x交曲线于点A(x1,y1)和点B(x2,y2),
满足x12=x22=,y12=y22=+2
∴|OA|=|OB|==,可得实轴为|AB|=2
故选:C
【解析】
作出“耐克函数”的图象如图,可得
该双曲线的渐近线为直线y=x和x=0
根据双曲线的对称性,得双曲线的实轴在直线y=x与x=0所成角的平分线上,
且为角平分线被“耐克函数”截得的线段AB.
设实轴实轴所在直线为y=kx,其中k=tan67.5°
∵tan135°=tan(2×67.5°)=-1
∴由二倍角的正切公式,得=-1
解之得tan67.5°=+1
∴实轴所在直线为y=(+1)x,
由消去y,整理得x2=,代入得y2=(+1)2=+2
因此直线y=(+1)x交曲线于点A(x1,y1)和点B(x2,y2),
满足x12=x22=,y12=y22=+2
∴|OA|=|OB|==,可得实轴为|AB|=2
故选:C
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