已知双曲线C:x^2/a^2-y^2=1(a＞0）与直线l:x+y=1相交与两个不同的点A,B求双曲线C的离心率e的取值范围设直线l与y轴的交点为P,且PA=5/12PB,求a的值

Question

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2=1(a＞0）与直线l:x+y=1相交与两个不同的点A,B
求双曲线C的离心率e的取值范围
设直线l与y轴的交点为P,且PA=5/12PB,求a的值

Answer 1

(1)由x^2/a^2-y^2=1得c^2=a^2+1,故双曲线的离心率e=[根号(a^2+1)]/a,由此得a^2=1/(e^2-1)
所以双曲线的方程变形为(e^2-1)x^2-y^2=1,将y=1-x代入上述方程即得：
(e^2-2)x^2+2x-2=0…………………………………………………………(1)
由于双曲线与直线相交于两个不同的点A,B,所以方程(1)有两个不同的实数根,故其判别式
4+4(e^2-2)*2>0,由此得e>(根号6)/2；
(2)直线l与y轴的交点P的坐标为(0,1),由定比分点公式得：
(x1+vx2)/(1+v)=0
(y1+vy2)/(1+v)=1
(此处的字母v用来表示定比,其值为5/12)
整理上述两个等式得：12x1+5x2=0………………………………………………(2)
又由方程组
x^2/a^2-y^2=1
x+y=1
得：(1-a^2)x^2+2a^2x-2a^2=0
x1+x2=(2a^2)/(a^2-1)………………………………………………………………(3)
(x1)(x2)=(2a^2)/(a^2-1)………………………………………………………………(4)
解(2)、(3)、(4)组成的方程组得a=7/13