已知抛物线C:y^2=2px的焦点为F,准线经过双曲线x^2-y^2=1/2的左焦点,点P是F关于y轴的对称点,过点P的直线交抛物线与A,B两点,试问在x轴上是否存在不同与P点的点T,使得TA,TB与x轴所在的直线所成的锐

Question

已知抛物线C:y^2=2px的焦点为F,准线经过双曲线x^2-y^2=1/2的左焦点,点P是F关于y轴的对称点,过点P的直线交抛物线与A,B两点,试问在x轴上是否存在不同与P点的点T,使得TA,TB与x轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点T的坐标,若不存在,说明理由.2,若△AOB的面积为5/2,求向量OA,向量OB的夹角

Answer 1

已知抛物线C:y²=2px的焦点为F,准线经过双曲线x²-y²=1/2的左焦点,点P是F关于y轴的对称点,过点P的直线交抛物线与A,B两点；(1).试问在x轴上是否存在不同于P点的点T,使得TA,TB与x轴所在的直线所成的锐角相等；若存在,求出定点T的坐标,若不存在,说明理由.(2).若△AOB的面积为5/2,求向量OA,向量OB的夹角
双曲线x²/(1/2)-y²/(1/2)=1,其参数为a²=1/2,b²=1/2,c²=1,c=1,故左焦点F₁(-1,0)；
抛物线y²=2px的准线为x=-p/2=-1,p=2,于是得抛物线C的方程为y²=4x；焦点F(1,0)；
点P是F关于y轴的对称点,故点P的坐标为(-1,0)；
(1).设过P点的直线方程为y=k(x+1)；代入抛物线方程得：
k²(x+1)²-4x=k²x²+2(k²-2)x+k²=0；设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)；(x₁