如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=52．（1）求抛物线

Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的
（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=(5)/(2)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段BC上是否存在一点D，使得S_△ACD：S_△ABD=2：1？若存在，求出经过点D的反比例函数的解析式；若不存在，说明理由．
（3）如图2，一个动点P自OC的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后运动到点C，求点P运动的最短路径长．

Answer 1

（1）∵线段OA、OC的长度（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的两个根，
∴解得：OA=1，CO=4，
∴A点坐标为：（-1，0），（0，4），
∵抛物线的对称轴是直线x=(5)/(2)，
∴-(b)/(2a)=(5)/(2)，
可得：

a−b+c＝0

c＝4

−(b)/(2a)＝(5)/(2)

，
解得：

a＝−(2)/(3)

b＝(10)/(3)

c＝4

，
∴抛物线的解析式为：y=-(2)/(3)x²+(10)/(3)x+4；

（2）存在，
理由：连接ADAC，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，
∵S_△ACD：S_△ABD=2：1，D在线段BC上，
∴CD：BD=2：1，
由题意可得出：ED∥BO，
∴△CED∽△COB，
∴(CD)/(BC)=(ED)/(BO)，
∴(2)/(3)=(ED)/(6)，
解得：DE=4，
同理可得出：(DF)/(CO)=(BD)/(BC)=