（2014•晋江市二模）如图，已知抛物线y=a（x-2）2+1与x轴从左到右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），连接AC、BC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若P为此抛物线的对称

Question

（2014•晋江市二模）如图，已知抛物线y=a（x-2）²+1与x轴从左到右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），连接AC、BC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA、PB、PC，设点P的纵坐标表示为m．
试探究：
①当m为何值时，|PA-PC|的值最大？并求出这个最大值．
②在P点的运动过程中，∠APB能否与∠ACB相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）把B（3，0）代入y-a（x-2）²+1得a×（3-2）²+1=0，
解得：a=-1．
∴此抛物线的解析式为y=-（x-2）²+1=-x²+4x-3；
（2）①由三角形的三边关系可知，|PA-PC|＜AC，
∴当P、A、C三点共线时，|PA-PC|的值最大，为AC的长度，
∴延长CA交直线x=2于点P，则点P为所求的点．
求得A（1，0），C（0，-3），
则有OA=1，OC=3，
∴AC=√(OA2+OC2)=√(10)．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则

k+b=0

b=-3

，
解得

k=3

b=-3

．
∴直线AC的解析式为y=3x-3，
∵抛物线y=-x²+4x-3的对称轴为直线x=2，
∴点P（2，m），
∴m=3×2-3=3，
∴当m=3时，|PA-PC|的值最大，最大值为√(10)．
②设直线x=2与x轴的交点为点D，作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P₁，P₁ 关于x轴的对称点为P₂，则P₁、P₂均为所求的点．∵∠AP₁B、∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射线DE 上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB．
∵圆心E必在AB边的垂直平分线即直线x=2上．
∴点E的横坐标为2．
又∵OB=OC=3，
∴圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y=-x上．
∴E（2，-2）．
在Rt△ADE中，DE=2，AD=(1)/(2)AB=(1)/(2)（OB-OA）=(1)/(2)（3-1）=1，
由勾股定理得EA=√(作业帮用户2017-10-07问题解析（1）把B（3，0）代入y-a（x-2）2+1，根据待定系数法可求抛物线的解析式；（2）①由三角形的三边关系可知，|PA-PC|＜AC，当P、A、C三点共线时，|PA-PC|的值最大，为AC的长度，延长CA交直线x=2于点P，则点P为所求的点．求得A（1，0），C（0，-3），根据勾股定理可得AC的长．根据待定系数法可求直线AC的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解；②设直线x=2与x轴的交点为点D，作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，则P1、P2均为所求的点．在Rt△ADE中，由勾股定理得EA的长，可得P1（2，-2-√(5)）．由对称性得P2（2，2+√(5)）．名师点评本题考点：二次函数综合题．考点点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，三角形的三边关系，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，外接圆的性扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)