如图，圆C：x2-（2+a）x+y2-ay+2a=0．（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）已知a>2，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=10相交于两点A，B．问

Question

如图，圆C：x²-（2+a）x+y²-ay+2a=0．

（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
（Ⅱ）已知a>2，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x²+y²=10相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由方程组

y=0

x2-(2+a)x+y2-ay+2a=0

可得：x²-（2+a）x+2a=0，
由题意得△=（2+a）²-8a=（a-2）²=0，
所以a=2
故所求圆C的方程为C：x²-4x+y²-2y+4=0．
（Ⅱ）令y=0，得：x²-（2+a）x+2a=0，即（x-2）（x-a）=0．
所以M（2，0），N（a，0）…（5分）
假设存在实数a，
当直线AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为：y=k（x-2），
代入x²+y²=10得，（1+k²）x²-4k²x+4k²-10=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=(4k2)/(1+k2)，x1x2=(4k2-10)/(1+k2)．
因为(y1)/(x1-a)+(y2)/(x2-a)=(k[(x1-2)(x2-a)+(x2-2)(x1-a)])/((x1-a)(x2-a))
而（x₁-2）（x₂-a）+（x₂-2）（x₁-a）=2x₁x₂-（a+2）（x₁+x₂）+4a=2•(4k2-10)/(1+k2)-(a+2)(4k2)/(1+k2)+4a=(4a-20)/(1+k2)，
因为∠ANM=∠BNM，
所以(y1)/(x1-a)+(y2)/(x2-a)=0，即(4a-20)/(1+k2)=0，得a=5．
当直线AB与x轴垂直时，也成立．
故存在a=5，使得∠ANM=∠BNM．