已知函数f（x）=ex-x2+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=ex-2x-1，求函数g（x）的最小值；（Ⅲ）求证：存在c<0，当x>c时，f（x）>0．

Question

已知函数f（x）=e^x-x²+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若g（x）=e^x-2x-1，求函数g（x）的最小值；
（Ⅲ）求证：存在c<0，当x>c时，f（x）>0．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=e^x-x²+ax的导数为：
f′（x）=e^x-2x+a，
由已知可得f′（0）=0，所以1+a=0，得a=-1．
（Ⅱ）g'（x）=e^x-2，令g'（x）=0，得x=ln2，
所以x，g'（x），g（x）的变化情况如表所示：

x	（-∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	递减	极小值	递增

所以g（x）的极小值，且为最小值为g（ln2）=e^ln2-2ln2-1=1-2ln2．
（Ⅲ）证明：显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，
由（Ⅱ）知，g（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．
又g（ln2）<0，g（2）=e²-5>0，
由零点存在性定理，存在唯一实数x₀∈（ln2，2），满足g（x₀）=0，
即ex0-2x0-1=0，ex0=2x0+1，
综上，g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x₀．
所以x<0时，g（x）>0，即f'（x）>0，f（x）在（-∞，0）上单调递增；
0<x<x₀时，g（x）<0，即f'（x）<0，f（x）在（0，x₀）上单调递减；
x>x₀时，g（x）>0，即f'（x）>0，f（x）在（x₀，+∞）上单调递增，
所以f（0）是极大值，f（x₀）是极小值，f(x0)=ex0-x02-x0=2x0+1-x02-x0=-x02+x0+1=-(x0-(1)/(2))2+(5)/(4)，
因为g（1）=e-3<0，g((3)/(2))=e(3)/(2)-4>0，
所以x0∈(1，(3)/(2))，所以f（x₀）>0，
因此x≥0时，f（x）>0．
因为f（0）=1且f（x）在（-∞，0）上单调递增，
所以一定存在c<0满足f（c）>0，
所以存在c<0，当x>c时，f（x）>0．