已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=12x-a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y

Question

已知抛物线y=x²-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=(1)/(2)x-a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．
（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；
（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
（3）在抛物线y=x²-2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）M（1，a-1），N（(4)/(3)a，-(1)/(3)a）；

（2）∵由题意得点N与点N′关于y轴对称，
∴N′（-(4)/(3)a，-(1)/(3)a）．
将N′的坐标代入y=x²-2x+a得：
-(1)/(3)a=(16)/(9)a²+(8)/(3)a+a，
∴a₁=0（不合题意，舍去），a2＝−(9)/(4)．
∴N（-3，(3)/(4)），
∴点N到y轴的距离为3．
∵A（0，-(9)/(4)），N'（3，(3)/(4)），
∴直线AN'的解析式为y＝x−(9)/(4)，它与x轴的交点为D（(9)/(4)，0）
∴点D到y轴的距离为(9)/(4)．
∴S_{四边形ADCN}=S_△ACN+S_△ACD=(1)/(2)×(9)/(2)×3+(1)/(2)×(9)/(2)×(9)/(4)=(189)/(16)；

（3）存在，理由如下：
当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN

∥

.

AC，
则把N向上平移-2a个单位得到P，坐标为（(4)/(3)a，-(7)/(3)a），代入抛物线的解析式，
得：-(7)/(3)a=(16)/(9)a²-(8)/(3)a+a，
解得a₁=0（不舍题意，舍去），a₂=-(3)/(8)，
则P（-(1)/(2)，(7)/(8)）；
当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，
则OA=OC，OP=ON．
则P与N关于原点对称，
则P（-(4)/(3)a，(1)/(3)a）；
将P点坐标代入抛物线解析式得：(1)/(3)a=(16)/(9)a²+(8)/(3)a+a，
解得a₁=0（不合题意，舍去），a₂=-(15)/(8)，
则P（(5)/(2)，-(5)/(8)）．
故存在这样的点P₁（-(1)/(2)，(7)/(8)）或P₂（(5)/(2)，-(5)/(8)），能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．