已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该二次函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只

Question

已知二次函数y=x²-2mx+m²+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该二次函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
（3）直线y=4与二次函数的图象交于M、N两点，求M、N的长度．

Answer 1

（1）证明：∵△=（-2m）²-4×1×（m²+3）=4m²-4m²-12=-12<0，
∴方程x²-2mx+m²+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；    
（2）y=x²-2mx+m²+3=（x-m）²+3，
把函数y=（x-m）²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）²的图象，它的顶点坐标是（m，0），这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以把函数y=x²-2mx+m²+3的图象向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．                                
（3）（x-m）²+3=4，x₁=m+1，x₂=m-1，
MN=x₁-x₂=（m+1）-（m-1）=2．