如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点A，C，B的抛物线的一部分与经过点A，E，B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“双抛物线”．已知P为AB中点，且P（-1，0）

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点A，C，B的抛物线的一部分与经过点A，E，B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“双抛物线”．已知P为AB中点，且P（-1，0），C（√(2)-1，1），E（0，-3），S_△CPA=1．
（1）试求“双抛物线”中经过点A，E，B的抛物线的解析式；
（2）若点F在“双抛物线”上，且S_△FAP=S_△CAP，请你直接写出点F的坐标；
（3）如果一条直线与“双抛物线”只有一个交点，那么这条直线叫做“双抛物线”的切线．若过点E与x轴平行的直线与“双抛物线”交于点G，求经过点G的“双抛物线”切线的解析式．

Answer 1

（1）∵S_△ACP=(1)/(2)AP•|y_C|=1，由题意知：|y_C|=1，
∴AP=2，即A（-3，0）；
由于A、B关于点P对称，则B（1，0）；
设经过A、E、B的抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），则有：
a（0+3）（0-1）=-3，a=1，
故所求抛物线的解析式为：y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3．

（2）由于△PAC和△PAF同底，若S_△FAP=S_△CAP，那么C、F的纵坐标的绝对值相同；
当F点的纵坐标为1时，C、F关于直线x=-1对称，则F（-√(2)-1，1）；
当F点纵坐标为-1时，代入y=x²+2x-3中，得：x²+2x-3=-1，
解得x=-1±√(3)；
故F（-1+√(3)，-1）或（-1-√(3)，-1）；
综上可知：存在符合条件的F点，且坐标为：F₁（-√(2)-1，1）、F₂（-1+√(3)，-1）、F₃（-1-√(3)，-1）．

（3）由于EG∥x轴，则E、G关于直线x=-1对称，故G（-2，-3）；
设经过点G的“双抛物线”的切线的解析式为：y=kx+b，
则有：-2k+b=-3，b=2k-3；
∴y=kx+2k-3；
由于G点同时在切线和抛物线的图象上，
则有：x²+2x-3=kx+2k-3，
即x²+（2-k）x-2k=0，
由于两个函数只有一个交点，则：
△=（2-k）²+8k=0，
解得k=-2；
故所求切线的解析式为：y=-2x-7．