如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合）我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很

Question

如图1，若抛物线L₁的顶点A在抛物线L₂上，抛物线L₂的顶点B也在抛物线L₁上（点A与点B不重合）我们把这样的两抛物线L₁、L₂互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条．

（1）如图2，已知抛物线L₃：y=2x²-8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）请求出以点D为顶点的L₃的“友好”抛物线L₄的解析式，并指出L₃与L₄中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物y=a₁（x-m）²+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a₂（x-h）²+k，请写出a₁与a₂的关系式，并说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线L3：y=2x²-8x+4，
∴y=2（x-2）²-4，
∴顶点为（2，4），对称轴为x=2，
设x=0，则y=4，
∴C（0，4），
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；
（2）∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，-4），
∴L4的解析式为y=-2（x-4）²+4，
∴L₃与L₄中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是：2≤x≤4时；
（3）a₁=-a₂，
理由如下：
∵抛物线L₁的顶点A在抛物线L₂上，抛物线L₂的顶点B也在抛物线L₁上，
∴可以列出两个方程

n＝a2(m−h)2+k①

k＝a1(h−m)2+n②

，
①+②得：
（a₁+a₂ ）（m-h）²=0，
∴a₁=-a²，