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已知抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于M点,F为抛物线C的焦点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点.(Ⅰ)若|AM|=54|AF|,求k的值;(Ⅱ)是否存在这样的k,使得抛物线C上总存在点Q(x

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已知抛物线C:y  2=4x的准线与x轴交于M点,F为抛物线C的焦点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点.
(Ⅰ)若|AM|=
5
4
|AF|,求k的值;
(Ⅱ)是否存在这样的k,使得抛物线C上总存在点Q(x0,y0)满足QA⊥QB,若存在,求k的取值范围;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(I)记A点到准线距离为d,直线l的倾斜角为α,
由抛物线的定义知|AM|=
5
4
d,
∴cosα=±
d
|AM|
=±
4
5

∴k=tanα=±
3
4

(2)设点Q(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
y2=4x
y=k(x+1)
得ky2-4y+4k=0,
k≠0
16−16k2>0
得-1<k<1且k≠0,
kQA=
y0−y1
x0−x1
=
y0−y1
y
2
0
4
y
2
1
4
=
4
y0+y1
,同理kQB=
4
y0+y2

由QA⊥QB得
4
y0+y1
4
y0+y2
=-1.
即:
y
2
0
+y0(y1+y2)+y1y2=-16,
y
2
0
+
4
k
y0+20=0,
△=(
4
k
)2-80≥0,
5
5
≤k≤
5
5
且k≠0,
由-1<k<1且k≠0得,
k的取值范围为[−
5
5
,0)∪(0,
5
5
].