已知抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于M点,F为抛物线C的焦点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点.(Ⅰ)若|AM|=54|AF|,求k的值;(Ⅱ)是否存在这样的k,使得抛物线C上总存在点Q(x
已知抛物线C:y 2=4x的准线与x轴交于M点,F为抛物线C的焦点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点.
(Ⅰ)若|AM|=|AF|,求k的值;
(Ⅱ)是否存在这样的k,使得抛物线C上总存在点Q(x0,y0)满足QA⊥QB,若存在,求k的取值范围;若不存在,说明理由.
答案和解析
(I)记A点到准线距离为d,直线l的倾斜角为α,
由抛物线的定义知|AM|=
d,
∴cosα=±=±,
∴k=tanα=±.
(2)设点Q(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得ky2-4y+4k=0,
由得-1<k<1且k≠0,
kQA===,同理kQB=,
由QA⊥QB得•=-1.
即:+y0(y1+y2)+y1y2=-16,
∴+y0+20=0,
△=()2-80≥0,
得−≤k≤且k≠0,
由-1<k<1且k≠0得,
k的取值范围为[−,0)∪(0,].
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