已知抛物线C：y2=4x的准线与x轴交于M点，F为抛物线C的焦点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．（Ⅰ）若|AM|=54|AF|，求k的值；（Ⅱ）是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q（x

Question

已知抛物线C：y  2=4x的准线与x轴交于M点，F为抛物线C的焦点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（Ⅰ）若|AM|=(5)/(4)|AF|，求k的值；
（Ⅱ）是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q（x₀，y₀）满足QA⊥QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α，
由抛物线的定义知|AM|=(5)/(4)d，
∴cosα=±(d)/(|AM|)=±(4)/(5)，
∴k=tanα=±(3)/(4)．
（2）设点Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2＝4x

y＝k(x+1)

得ky²-4y+4k=0，
由

k≠0

16−16k2＞0

得-1＜k＜1且k≠0，
k_QA=(y0−y1)/(x0−x1)=(y0−y1)/((y20)/(4)−(y21)/(4))=(4)/(y0+y1)，同理k_QB=(4)/(y0+y2)，
由QA⊥QB得(4)/(y0+y1)•(4)/(y0+y2)=-1．
即：

y

2 0

+y0(y1+y2)+y1y2=-16，
∴

y

2 0

+(4)/(k)y0+20=0，
△=((4)/(k))2-80≥0，
得−(√(5))/(5)≤k≤(√(5))/(5)且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范围为[−(√(5))/(5)，0)∪(0，(√(5))/(5)]．