已知抛物线y=-x2-2x+3与y轴的正半轴交与点c,与x轴的负半轴交于点B（-3,0）,与x轴的正半轴交于点A（1,0）,是否在抛物线上的第二象限上存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC

Question

已知抛物线y=-x2-2x+3与y轴的正半轴交与点c,与x轴的负半轴交于点B（-3,0）,与x轴的正半轴交于点A（1,0）,是否在抛物线上的第二象限上存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积,若不存在,说明理由

Answer 1

B(-3,0),C(0,3)
∴线段BC长度 |BC|=3√2,直线BC方程为x/（-3）+y/3=1,即x-y+3=0
设P(x,-x²-2x+3)到直线BC的距离为d
则S△PBC=1/2×3√2×d
显然得,要S△PBC最大,只需d最大
而d=|x-(-x²-2x+3)+3|/√2=|(x+3/2)²-9/4|/√2
画出u=|(x+3/2)²-9/4|的图像得u在(-∞,-3)单调减,(-3,-3/2)单调增,(-3/2,0)单调减
∵P为抛物线在第二象限的点
∴-3