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音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化,某种音乐喷泉形状如抛物线,设其出水口为原点,出水口离岸边18m,音乐变化时,抛物线的顶点在直线y=kx上变动,从而产生

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音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化,某种音乐喷泉形状如抛物线,设其出水口为原点,出水口离岸边18m,音乐变化时,抛物线的顶点在直线y=kx上变动,从而产生一组不同的抛物线(图2),这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx.
(1)若已知k=1,且喷出的抛物线水线最大高度达3m,求此时a、b的值;
(2)若k=1,喷出的水恰好达到岸边,则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米?
(3)若k=2,且要求喷出的抛物线水线不能到岸边,求a的取值范围.
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答案和解析
(1)∵y=ax2+bx的顶点为(-
b
2a
,-
b2
4a
),抛物线的顶点在直线y=kx上,k=1,抛物线水线最大高度达3m,
∴-
b
2a
=
-b2
4a
-b2
4a
=3,
解得,a=-
1
3
,b=2,
即k=1,且喷出的抛物线水线最大高度达3m,此时a、b的值分别是-
1
3
,2;
(2)∵k=1,喷出的水恰好达到岸边,出水口离岸边18m,抛物线的顶点在直线y=kx上,
∴此时抛物线的对称轴为x=9,y=x=9,
即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米;
(3)∵y=ax2+bx的顶点为(-
b
2a
,-
b2
4a
),抛物线的顶点在直线y=2x上,
∴-
b
2a
×2=-
-b2
4a

解得:b=4,
∵喷出的抛物线水线不能到岸边,出水口离岸边18m,
∴-
b
2a
<9,即:-
4
2a
<9,
解得:a<-
2
9
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