（2013•松江区二模）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，1），B（4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线

Question

（2013•松江区二模）已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），
∴

c＝1

−16+4b+c＝3

，
解得

b＝(9)/(2)

c＝1

，
所以，抛物线的函数解析式为y=-x²+(9)/(2)x+1；

（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，
∵A（0，1），B （4，3），
∴OA=1，OC=4，BC=3，
根据勾股定理，OB=√(OC2+BC2)=√(42+32)=5，
∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠OAD=∠BOC，
又∵∠ADO=∠OCB=90°，
∴△AOD∽△OBC，
∴(OA)/(OB)=(OD)/(BC)=(AD)/(OC)，
即(1)/(5)=(OD)/(3)=(AD)/(4)，
解得OD=(3)/(5)，AD=(4)/(5)，
∴BD=OB-OD=5-(3)/(5)=(22)/(5)，
∴tan∠ABO=(AD)/(BD)=((4)/(5))/((22)/(5))=(2)/(11)；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
则

b＝1

4k+b＝3

，
解得

k＝(1)/(2)

b＝1

，
所以，直线AB的解析式为y=(1)/(2)x+1，
设点M（a，-a²+(9)/(2)a+1），N（a，(1)/(2)a+1），
则MN=-a²+(9)/(2)a+1-(1)/(2)a-1=-a²+4a，
∵四边形MNCB为平行四边形，
∴MN=BC，
∴-a²+4a=3，
整理得，a²-4a+3=0，
解得a₁=1，a₂=3，
∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=-((9)/(2))/(2×(−1))=(9)/(4)，
∴a=1，
∴-1²+(9)/(2)×1+1=(9)/(2)，
∴点M的坐标为（1，(9)/(2)）．