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在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.(Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点,求OA•OB的值;(Ⅱ)如果OA•OB=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
题目详情
在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.
(Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点,求
•
的值;
(Ⅱ)如果
•
=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
(Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点,求
OA |
OB |
(Ⅱ)如果
OA |
OB |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由题意:抛物线焦点为(1,0)
设l:x=ty+1代入抛物线y2=4x消去x得,
y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=4t,y1y2=-4
∴
•
=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2
=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2
=-4t2+4t2+1-4=-3.
(Ⅱ)设l:x=ty+b代入抛物线y2=4x,消去x得
y2-4ty-4b=0设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=4t,y1y2=-4b
∴
•
=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b
令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0∴b=2.
∴直线l过定点(2,0).
设l:x=ty+1代入抛物线y2=4x消去x得,
y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=4t,y1y2=-4
∴
OA |
OB |
=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2
=-4t2+4t2+1-4=-3.
(Ⅱ)设l:x=ty+b代入抛物线y2=4x,消去x得
y2-4ty-4b=0设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=4t,y1y2=-4b
∴
OA |
OB |
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b
令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0∴b=2.
∴直线l过定点(2,0).
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