在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求OA•OB的值；（Ⅱ）如果OA•OB=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Question

在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求

OA

•

OB

的值；
（Ⅱ）如果

OA

•

OB

=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）
设l：x=ty+1代入抛物线y²=4x消去x得，
y²-4ty-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4t²+4t²+1-4=-3．
（Ⅱ）设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b
∴

OA

•

OB

＝x1x2+y1y2=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0∴b=2．
∴直线l过定点（2，0）．