设抛物线y^2=2x的焦点为F,过点M（根号3,0）直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,|BF|=2,则三角形BCF与三角形ACF的面积之比为

Question

设抛物线y^2=2x的焦点为F,过点M（根号3,0）直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,|BF|=2,则三角形BCF与三角形ACF的面积之比为_________

Answer 1

设A点坐标为（Xa,Ya）,B点坐标为（Xb,Yb）
y^2=2x=2px,即p=1,焦点F（p/2,0)坐标为（1/2,0）,准线为l方程x=-p/2=-1/2
因为FB等于2
根据“抛物线上的一点到焦点的距离等于到准线的距离”
所以B到准线等于2
所以：P/2+Xb=2
Xb=3/2,代入抛物线方程得Yb=√3
设AB所在的线为Y=kX+b
代入题中给的M（√3,0）和B点（3/2,√3）
0=√3k+b
√3=3/2k+b
解方程组得k=-2√3-4,b=4√3+6
直线方程为y=-(2√3+4)x+4√3+6
结合抛物线方程求得A点坐标（2,-2）
设C点坐标为（-1/2,Yc）
代入直线方程得Yc=5√3+8
FM=√3-1/2
S△BFC=S△FCM-S△FMB=1/2*FM*Yc-1/2*FM*Yb=1/2*(√3-1/2)*|5√3+8-√3|=4+3√3
S△ACF=S△AFM+S△FMC=1/2*FM*Ya+1/2*FM*Yc=1/2*(√3-1/2)*（|-2|+5√3+8）=5（4+3√3）/4
所以S△BFC：S△ACF=（4+3√3）：[5（4+3√3）/4]=4：5