过点Q(0,4)做直线l交抛物线x²=4y于A、B两点.（1）证明△AOB是Rt△;（2）证明△AOB面积的最小值

Question

过点Q(0,4)做直线l交抛物线x²=4y于A、B两点.（1）证明△AOB是Rt△;（2）证明△AOB面积的最小值

Answer 1

(1)设y=kx+4 A(X1,Y1) B(X2,Y2)
联解 x²=4y 那么得x²-4kx-16=0 x1x2=-16
y1y2=（x1²/4）（x2²/4）=x1²x2²/16=16
向量OA·OB= x1x2+ y1y2=0 所以OA⊥OB
(2) 设直线AB与x抽的交点为 C,易得C（-4/k,0）
S△AOB=½|OA|·|OB|=½√（x1²+y1²）（x2²+y2²）
=½ √y1y2√（4+y1）（4+y2）
= 2√16+4（y1+y2）+y1y2
=2√32+4[k（x1+x2）+8]
=2√32+4[k（4k）+8]
=2√64+16k²
显然k=0时 S△AOB=16 最小