如图四边形ABCD是证明勾股定理时用到的一个图形，、、是Rt△ABC和Rt△BDE的三边长，易知.这时我们把形如的方程称为关于的“

Question

如图四边形 ABCD 是证明勾股定理时用到的一个图形， 、 、 是 Rt △ ABC 和 Rt △ BDE 的三边长，易知 . 这时我们把形如 的方程称为关于 的 “勾系一元二次方程” .

请解决下列问题：

（ 1 ）构造一个“勾系一元二次方程” :                                        .

（ 2 ）证明 : 关于 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；

（ 3 ）若 是 “勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求 △ 的面积 .

Answer 1

（ 1 ）例如： ，只要 、 、 满足 即可 . … 2 分

（ 2 ）

                        

          ………………………………   3 分

 .              

       ∵ ，

∴  .   

∴ “勾系一元二次方程”必有实数根 .    ………………………………   4 分

（ 3 ） ∵ 是“勾系一元二次方程” 的一个根，

∴ .      

∴  .  ………………………………   5 分              

又 ∵ 四边形 的周长是 ，

∴ .

∴ . ………………………………………… 6 分

∴ .

解法一： ∵ ，

∴ .

∴ .

∴ = . ………………………………………… 7 分

解法二： ∴ = _四边形 = = .

………………………………………… 7 分