为什么x^4+y^4=z^4这个方程没有正整数解啊给出证明（不要那个X^N+Y^N=Z^N的证明）是我想到为什么“勾股数”不能3个都是完全平方想到的

Question

为什么x^4+y^4=z^4这个方程没有正整数解啊
给出证明（不要那个X^N+Y^N=Z^N的证明）
是我想到为什么“勾股数”不能3个都是完全平方想到的

Answer 1

用反证法.假设原方程有正整数解,那么在全体正整数解中,必有一组解x0,y0,z0使z0取最小值.
首先,x0,y0,z0两两互素(显然)
所以必为一奇一偶.设y0为偶数.
(z0^2-y0^2,z0^2+y0^2)=(2z0^2,2y0^2)=1(辗转相除法)
所以(z0^2-y0^2)(z0^2+y0^2)=x0^4
因为两两互素,所以可设z0^2-y0^2=u^4,z0^2+y0^2=v^4
其中u,v为互素的奇数.所以y0^2=0.5(v^2-u^2)(v^2+u^2)
而(v^2-u^2,(v^2+u^2)/2)=1(辗转相除法)
同理可得v^2-u^2=a^2,(v^2+u^2)/2=b^2
其中a,b互素且a为偶数,b为奇数.
可推得0