已知a,b,c为三角形ABC的内角A,B,C的对边,满足(sinB+sinC)/sinA=(2-cosB-cosC)/cosA,函数f(x)=sin欧米伽x（欧米伽>0）在区间[0,3]上单调递增,在区间上单调递减(1)证明：b+c=2a(2)若f（π/9）=cosA,证明三角形ABC为

Question

已知a,b,c为三角形ABC的内角A,B,C的对边,满足(sinB+sinC)/sinA=(2-cosB-cosC)/cosA,函数f(x)=sin欧米伽x（欧米伽>0）在区间[0,3]上单调递增,在区间上单调递减
(1)证明：b+c=2a
(2)若f（π/9）=cosA,证明三角形ABC为等边三角形

Answer 1

（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=2sinAsin（A+B）+sin（A+C）
=2sinA…（3分）
sinC+sinB=2sinA…（5分）
所以b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）由题意知：由题意知：
2π
ω
=
4π
3
,解得：ω=
3
2
,…（8分）
因为f(
π
9
)=sin
π
6
=
1
2
=cosA,A∈（0,π）,所以A=
π
3
…（9分）
由余弦定理知：cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
…（10分）
所以b2+c2-a2=bc因为b+c=2a,所以b2+c2-(
b+c
2
)2=bc,
即：b2+c2-2bc=0所以b=c…（11分）
又A=
π
3
,所以△ABC为等边三角形．…（12分）