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(2014•密云县二模)已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC(1)发现:如图1,当点E在AB上且点C和点D重合时,若点M、N分别是DB、EC的中点,则MN与EC的位置关系是,MN与EC
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(2014•密云县二模)已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/91529822720e0cf33c41294f0946f21fbf09aad4.jpg)
(1)发现:如图1,当点E在AB上且点C和点D重合时,若点M、N分别是DB、EC的中点,则MN与EC的位置关系是______,MN与EC的数量关系是
(2)探究:若把(1)小题中的△AED绕点A旋转一定角度,如图2所示,连接BD和EC,并连接DB、EC的中点M、N,则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗?若成立,请以逆时针旋转45°得到的图形(图3)为例给予证明位置关系成立,以顺时针旋转45°得到的图形(图4)为例给予证明数量关系成立,若不成立,请说明理由.
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(1)发现:如图1,当点E在AB上且点C和点D重合时,若点M、N分别是DB、EC的中点,则MN与EC的位置关系是______,MN与EC的数量关系是
MN=
EC
1 |
2 |
MN=
EC
1 |
2 |
(2)探究:若把(1)小题中的△AED绕点A旋转一定角度,如图2所示,连接BD和EC,并连接DB、EC的中点M、N,则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗?若成立,请以逆时针旋转45°得到的图形(图3)为例给予证明位置关系成立,以顺时针旋转45°得到的图形(图4)为例给予证明数量关系成立,若不成立,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)MN⊥EC,MN=
EC;
理由:∵当点E在AB上且点C和点D重合时,点M、N分别是DB、EC的中点,
∴MN是三角形BED的中位线,
∴MN
BE,
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC,
∴BE=DE,∠AED=90°,
∴MN与EC的位置关系是:MN⊥EC,MN与EC的数量关系是:MN=
EC.
故答案为:MN⊥EC,MN=
EC;
(2)MN⊥EC,MN=
EC;
理由:如图3,连接EM并延长到F,使EM=MF,连接CM、CF、BF.
在△EDM和△FBM中,
,
∴△EDM≌△FBM(SAS),![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c75c10385343fbf201c53e92b37eca8064388f92.jpg)
∴BF=DE=AE,∠FBM=∠EDM=135°,
∴∠FBC=∠EAC=90°,
在△EAC和△FBC中,
,
∴△EAC≌△FBC(SAS),
∴FC=EC,∠FCB=∠ECA,
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°,
∴EC⊥FC,
又∵点M、N分别是EF、EC的中点,
∴MN∥FC,
∴MN⊥EC,
如图4,连接EM并延长交BC于F,
∵∠AED=∠ACB=90°,
∴DE∥BC,
∴∠DEM=∠BFM,∠EDM=∠MBF,
在△EDM和△FBM中,
1 |
2 |
理由:∵当点E在AB上且点C和点D重合时,点M、N分别是DB、EC的中点,
∴MN是三角形BED的中位线,
∴MN
∥ |
. |
1 |
2 |
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC,
∴BE=DE,∠AED=90°,
∴MN与EC的位置关系是:MN⊥EC,MN与EC的数量关系是:MN=
1 |
2 |
故答案为:MN⊥EC,MN=
1 |
2 |
(2)MN⊥EC,MN=
1 |
2 |
理由:如图3,连接EM并延长到F,使EM=MF,连接CM、CF、BF.
在△EDM和△FBM中,
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∴△EDM≌△FBM(SAS),
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c75c10385343fbf201c53e92b37eca8064388f92.jpg)
∴BF=DE=AE,∠FBM=∠EDM=135°,
∴∠FBC=∠EAC=90°,
在△EAC和△FBC中,
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∴△EAC≌△FBC(SAS),
∴FC=EC,∠FCB=∠ECA,
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°,
∴EC⊥FC,
又∵点M、N分别是EF、EC的中点,
∴MN∥FC,
∴MN⊥EC,
如图4,连接EM并延长交BC于F,
∵∠AED=∠ACB=90°,
∴DE∥BC,
∴∠DEM=∠BFM,∠EDM=∠MBF,
在△EDM和△FBM中,
作业帮用户
2016-12-13
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