如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．若AB=3cm，BC=5cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP为等腰三角形？

Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．若AB=3cm，
BC=5cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP为等腰三角形？

Answer 1

在△ABC和△CDA中，

∠BAC=∠ACD=90°

∠B=∠D

AC=CA

，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AD=BC，AB=CD．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=√(BC2-AB2)=√(52-32)=4．
设经过ts时，△ABP为等腰三角形．当P在BC上时，
①BA=BP=3，即t=3时，△ABP为等腰三角形；
②BP=AP=(1)/(2)BC=(5)/(2)，即t=(5)/(2)时，△ABP为等腰三角形；
③AB=AP．过A作AE⊥BC，垂足为E，AE=(AB•AC)/(BC)．

在Rt△ABE中，BE=√(AB2-AE2)=√(32-((12)/(5))2)=(9)/(5)．
∴BP=2BE=(18)/(5)，即t=(18)/(5)时，△ABP为等腰三角形；
当P在CD上不能得出等腰三角形；
当P在AD上时，只能AB=AP=3，
∴BC+CD+DP=10，即t=10时，△ABP为等腰三角形．
答：从运动开始经过(5)/(2)s或3s或(18)/(5)s或10s时，△ABP为等腰三角形．