（2013•锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、

Question

（2013•锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=(1)/(2)∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．

Answer 1

（1）EF=BE+DF，
证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，
在△ADF和△ABQ中

AB＝AD

∠ABQ＝∠D

BQ＝DF

，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAQ=45°，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中

AE＝AE

∠EAQ＝∠EAF

AQ＝AF

∴△EAQ≌△EAF，
∴EF=EQ=BE+BQ=BE+DF．

（2）AM=AB，
理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ，
∴(1)/(2)×EQ×AB=(1)/(2)×FE×AM，
∴AM=AB．

（3）AM=AB，
证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵折叠后B和D重合，
∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=(1)/(2)∠BAD，
在△ADF和△ABQ中，

AB＝AD

∠ABQ＝∠D

BQ＝DF

，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠FAE=(1)/(2)∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=

作业帮用户 2017-10-18

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