如图,三个边长为1的正方形拼成一个矩形ABEF,求证：（1）三角形ACE∽三角形DCA(2)∠1+∠2+∠3=90°

Question

如图,三个边长为1的正方形拼成一个矩形ABEF,求证：（1）三角形ACE∽三角形DCA (2)∠1+∠2+∠3=90°

Answer 1

如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,则这两个三角形相似.
图中设正方形边长为a,即AB=BC=CD=DE=a,由勾股定理得：AC=根号2*a
△ACD与△ACE中,对应角∠ACD=∠ACE,
△ACD的边CD与△ACE中的边AC相对应,△ACD中的边AC与△ACE中的边CE相对应,
对应边AC/CD=根号2*a/a=根号2,CE/AC=2a/根号2*a=根号2,
所以AC/CD=CE/AC,且∠ACD=∠ACE,得△ACD∽△ECA.
（2）正方形ABCH中∠1=45°,则∠ACD=135°,而∠3+∠CAE=45°,
由△ACD∽△ECA得,∠2=∠CAE,∠3=∠CAD,
则∠3+∠CAE=∠3+∠2=45°,所以∠1+∠2+∠3=90°