如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B，DE交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）若△DCE为直角三角形，求线段BD的长；（3）求线段CE长的取值范

Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B，DE交AC于点E．

（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若△DCE为直角三角形，求线段BD的长；
（3）求线段CE长的取值范围．（直接写出答案）

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；         

（2）△DCE为直角三角形，有以下两种可能：①∠CED=90°②∠EDC=90°．
①当∠CED=90°时，即∠AED=90°，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴BD=8．             
②当∠EDC=90°时，
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠EDC=90°，
如图，过A作AF⊥BC于F，则BF=8，
∵∠B是公共角，∠AFB=∠BAD=90°，
∴△BFA∽△BAD，
∴(AB)/(BD)=(BF)/(AB)，
∴(10)/(BD)=(8)/(10)，
∴BD=(25)/(2)．
综上所述，△DCE为直角三角形时，BD=8或BD=(25)/(2)．

（3）由（2）得：∠EDC=∠BAD，
∵∠B=∠C，
∴△CDE∽△BAD，
设BD=y，CE=x，
∴(AB)/(DC)=(BD)/(CE)，
∴(10)/(16-y)=(y)/(x)，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∵0<BD<16，
∴0<x≤6.4．