如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线．（1）求证：△ABC∽△BDC；（2）求证：点D是线段AC的黄金分割点．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线．

（1）求证：△ABC∽△BDC；
（2）求证：点D是线段AC的黄金分割点．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CDB，又∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2） ∵△ABC∽△BDC，
∴(CD)/(BC)=(BC)/(AC)，
∴BC²=AC•CD，
∵∠A=∠ABD，
∴DA=DB，
∵∠C=∠BDC，
∴BC=DB，
∴BC=AD，
∴AD²=AC•CD．