（1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就称P为△ABC的边AB上的相似点．画法初探①如图②，在△ABC中，∠ACB>90°，画出△ABC的边AB上的

Question

（1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就称P为△ABC的边AB上的相似点．
画法初探
①如图②，在△ABC中，∠ACB>90°，画出△ABC的边AB上的相似点P（画图工具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）；

辩证思考
②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似点的三角形；
特例分析
③已知P为△ABC的边AB上的相似点，连接PC，若△ACP∽△ABC，则△ABC的形状是___；
④如图③，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，P是边AB上的相似点，求 (BP)/(AP)的值．
（2）在矩形ABCD中，AB=a，BC=b（a≥b）．P是AB上的点（P不与点A、点B重合），作PQ⊥CD，垂足为Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线．
①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形ABCD，在不限制画图工具的前提下，如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢？
你的解答是：___（只需描述PQ的画法，不需在图上画出PQ）．
②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究，要求每个栏目提出一个问题并解决．

Answer 1

（1）①如图②，在∠ACB内，作∠ACE=∠ABC，BE交AB于点P，则点P为△ABC的自相似点；

②不是，如正三角形．
③直角三角形．
故答案为：直角三角形．
④∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°．
∵P是△ABC边AB上的相似点．
∴△CBP∽△ABC．
∴∠BCP=∠A=36°，且(BP)/(BC)=(BC)/(AB)，
∴∠ACP=36°=∠A，∠B=∠BPC．
∴AP=CP=BC．
设BP=x，AP=CP=BC=y，有(x)/(y)=(y)/(y+x)．
化简，得x²+xy-y²=0．
舍去负根，得(x)/(y)=(√(5)-1)/(2)，即(BP)/(AP)=(√(5)-1)/(2)，
（2）①在距离A点(a2)/(b)处取点P，作PQ⊥CD，垂足为Q．
故答案为：在距离A点(a2)/(b)处取点P，作PQ⊥CD，垂足为Q．
②辩证思考
问题：是不是所有的矩形都存在它的边上的相似线？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似线的矩形．
不是，如正方形．
特例分析：
问题：已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，且P是AB的中点，a、b之间有何数量关系？
如图④，

∵PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，且P是AB的中点，
∴BP=(a)/(2)
∵矩形ABCD∽矩形BCQP，
∴(AD)/(AB)=(BP)/(BC)
∴(b)/(a)=((a)/(2))/(b)，
∴a=√(2)b．