如图，AB是⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，AE和BD的延长线交于点C，连接DE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）若∠C=60°，求证：DE=12AB．

Question

如图，AB是⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，AE和BD的延长线交于点C，连接DE．

（1）求证：△CDE∽△CAB；
（2）若∠C=60°，求证：DE=(1)/(2)AB．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠CDE=∠A，
又∵∠C=∠C
∴△CDE∽△CAB；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°
又∵∠C=60°，
∴(CD)/(AC)＝cos60°＝(1)/(2)，
由（1）已证△CDE∽△CAB，
∴(ED)/(AB)＝(CD)/(AC)＝(1)/(2)
∴ED＝(1)/(2)AB．