如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠DBC．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）求tan∠DBC的值；（3）求线段BF的长．

Question

如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠DBC．

（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）求tan∠DBC的值；
（3）求线段BF的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠ABE=∠C，且∠BAE=∠DBC，
∴△ABE∽△BCD；
（2） 过D作DG⊥BC于点G，

∵AD=1，BC=3，
∴CG=(1)/(2)（BC-AD）=1，BG=2，
又∵在Rt△DGC中，CD=2，CG=1，
∴DG=√(3)，
在Rt△BDG中，tan∠DBC=(DG)/(BG)=(√(3))/(2)；
（3） 由（2）在Rt△BGD中，由勾股定理可求得BD=√(7)，
由（1）△ABE∽△BCD可得(AB)/(BC)=(BE)/(CD)，即=(BE)/(2)=(2)/(3)，解得BE=(4)/(3)，
又∵AD∥BC，
∴(AD)/(BE)=(DF)/(BF)，且DF=BD-BF，
∴(1)/((4)/(3))=(√(7)-BF)/(BF)，
解得BF=(4√(7))/(7)．