如图为函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+c（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π）图象的一部分．（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的振幅、周期、初相；（2）求使得f（x）＞52的x的集合；（3）函数f（x）

Question

如图为函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+c（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π）图象的一部分．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的振幅、周期、初相；
（2）求使得f（x）＞(5)/(2)的x的集合；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换而得到？

Answer 1

（1）由函数图象可知函数的最大值为A+c=4，最小值为-A+c=-2，
∴c=1，A=3，
∵(3)/(4)T=12-4=8，
∴函数的周期T=(32)/(3)．
由(2π)/(ω)＝(32)/(3)得，
ω=(3π)/(16)，
∴y=3sin（(3π)/(16)x+ϕ）+1
∵（12，4）在函数图象上，
∴4=3sin（(3π)/(16)•12+ϕ）+1，即sin（(9π)/(4)+ϕ）=1，
∴(9π)/(4)+ϕ=(π)/(2)+2kπ，k∈Z，得ϕ=-(7π)/(4)+2kπ，k∈Z，
∵0＜ϕ＜2π，∴ϕ=(π)/(4)，
∴函数解析式为y=3sin（(3π)/(16)•x+(π)/(4)）+1．
（2）∵f（x）＞(5)/(2)，
结合（1），得
3sin（(3π)/(16)•x+(π)/(4)）+1＞(5)/(2)．
解得x∈(−(4)/(9)+(32)/(3)k，(28)/(9)+(32)/(3)k)，（k∈z）
∴f（x）＞(5)/(2)的x的集合：(−(4)/(9)+(32)/(3)k，(28)/(9)+(32)/(3)k)，（k∈z）
（3）先将函数y=sinx的图象向左平移(π)/(4)个单位，然后，将所得图象横坐标伸长到原来的(16)/(3π)倍，然后，再将所得图象纵坐标伸长到原来的3倍，然后，再将所得函数图象上所有各点图象向上平移1个单位，即得所求函数的图象．