求∫x*(2x-x^2)^1/2dx在0-2上的积分

Question

求∫x*(2x-x^2)^1/2dx 在0-2上的积分

Answer 1

∫<0,1>(2x-x^2)^(1/2)dx
=∫<0,1>√(-x^2+2x)dx
=∫<0,1>√[-(x^2-2x+1)+1]dx
=∫<0,1>√[1-(x-1)^2]dx
令(x-1)=sint,则x=sint+1
那么,dx=d(sint+1)=costdt
且,x=0时,sint=-1；x=1时,sint=0
则t∈[-π/2,0]
此时：√[1-(x-1)^2]=√(1-sin^2 t)=√(cos^2 t)=|cost|=cost
则原定积分=∫cost*costdt
=∫cos^2 tdt
=∫[(cos2t+1)/2]dt
=(1/2)∫(cos2t+1)dt
=(1/4)(sin2t)|+(1/2)(t)|
=(1/4)*(0-0)+(1/2)[0-(-π/2)]
=π/4