已知函数f（x）=ln1+x1-x，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）>2(x+x33)；（Ⅲ）设实数k使得f（x）>k(x+x33)对x∈（0，1）恒成立，求k

Question

已知函数f（x）=ln(1+x)/(1-x)，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）>2(x+(x3)/(3))；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）>k(x+(x3)/(3))对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（1）因为f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）所以
f′(x)=(1)/(1+x)+(1)/(1-x)，f′(0)=2
又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．
（2）证明：令g（x）=f（x）-2（x+(x3)/(3)），则
g'（x）=f'（x）-2（1+x²）=(2x4)/(1-x2)，
因为g'（x）>0（0<x<1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．
所以g（x）>g（0）=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，f（x）>2（x+(x3)/(3)）．
（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）>k(x+(x3)/(3))对x∈（0，1）恒成立．
当k>2时，令h（x）=f（x）-k(x+(x3)/(3))，则
h'（x）=f'（x）-k（1+x²）=(kx4-(k-2))/(1-x2)，
所以当0<x<

4

(k-2)/(k)

时，h'（x）<0，因此h（x）在区间（0，

4

(k-2)/(k)

）上单调递减．
当0<x<

4

(k-2)/(k)

时，h（x）<h（0）=0，即f（x）<k(x+(x3)/(3))．
所以当k>2时，f（x）>k(x+(x3)/(3))并非对x∈（0，1）恒成立．
综上所知，k的最大值为2．