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设函数f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若关于x的方程f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根,求实数a的取值范围.
题目详情
设函数f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若关于x的方程f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根,求实数a的取值范围.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若关于x的方程f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)函数f(x)的定义域为(1,+∞),
∵f′(x)=2[
−(x−1)]=−
,
∵x>1,则使f'(x)>0的x的取值范围为(1,2),
故函数f(x)的单调递增区间为(1,2).
(2)方法1:∵f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2,
∴f(x)+x2-3x-a=0⇔x+a+1-2ln(x-1)=0.
令g(x)=x+a+1-2ln(x-1),
∵g'(x)=1-
=
,且x>1,
由g'(x)>0得x>3,g'(x)<0得1<x<3.
∴g(x)在区间[2,3]内单调递减,在区间[3,4]内单调递增,
故f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔
即
解得:2ln3-5≤a<2ln2-4.
综上所述,a的取值范围是[2ln3-5,2ln2-4).
方法2:∵f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2,
∴f(x)+x2-3x-a=0⇔x+a+1-2ln(x-1)=0.
即a=2ln(x-1)-x-1,令h(x)=2ln(x-1)-x-1,
∵h'(x)=
−1=
,且x>1,
由h'(x)>0得1<x<3,h'(x)<0得x>3.
∴h(x)在区间[2,3]内单调递增,在区间[3,4]内单调递减.
∵h(2)=-3,h(3)=2ln2-4,h(4)=2ln3-5,又h(2)<h(4),
故f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔h(4)≤a<h(3).
即2ln3-5≤a<2ln2-4.
综上所述,a的取值范围是[2ln3-5,2ln2-4).
∵f′(x)=2[
1 |
x−1 |
2x(x−2) |
x−1 |
∵x>1,则使f'(x)>0的x的取值范围为(1,2),
故函数f(x)的单调递增区间为(1,2).
(2)方法1:∵f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2,
∴f(x)+x2-3x-a=0⇔x+a+1-2ln(x-1)=0.
令g(x)=x+a+1-2ln(x-1),
∵g'(x)=1-
2 |
x−1 |
x−3 |
x−1 |
由g'(x)>0得x>3,g'(x)<0得1<x<3.
∴g(x)在区间[2,3]内单调递减,在区间[3,4]内单调递增,
故f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔
|
即
|
综上所述,a的取值范围是[2ln3-5,2ln2-4).
方法2:∵f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2,
∴f(x)+x2-3x-a=0⇔x+a+1-2ln(x-1)=0.
即a=2ln(x-1)-x-1,令h(x)=2ln(x-1)-x-1,
∵h'(x)=
2 |
x−1 |
3−x |
x−1 |
由h'(x)>0得1<x<3,h'(x)<0得x>3.
∴h(x)在区间[2,3]内单调递增,在区间[3,4]内单调递减.
∵h(2)=-3,h(3)=2ln2-4,h(4)=2ln3-5,又h(2)<h(4),
故f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔h(4)≤a<h(3).
即2ln3-5≤a<2ln2-4.
综上所述,a的取值范围是[2ln3-5,2ln2-4).
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