证明点到直线的距离公式：已知点P（x0，y0）及直线L：Ax+By+C=0，证明点P到直线L的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2．

Question

证明点到直线的距离公式：已知点P（x₀，y₀）及直线L：Ax+By+C=0，证明点P到直线L的距离d=(|Ax0+By0+C|)/(√(A2+B2))．

Answer 1

证明：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，
过点P作x轴的平行线，交l于点R（x₁，y₀），
作y轴平行线，交l于点S（x₀，y₂），
由

A x1+By0+C＝0

Ax0+By2+C＝0

，得x1＝(−By0−C)/(A)，y2＝(−Ax0−C)/(B)，
∴|PR|=|x₀-x₁|=|(Ax0+By0+C)/(A)|，
|PS|=|y₀-y₂|=|(Ax0+By0+C)/(B)|，
|RS|=√(PR2+PS2)=(√(A2+B2))/(|AB|)×|Ax₀+By₀+C|，
由三角形面积公式，得：
d•|RS|=|PR|•|PS|，
∴d=(|Ax0+By0+C|)/(√(A2+B2))．当A=0或B=0时仍适用，
∴点P到直线L的距离d=(|Ax0+By0+C|)/(√(A2+B2))．