已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，在△ABC外作直角三角形ACE，∠ACE=90°（1）如图1，过点C作CM⊥AE，垂足为M，连结BM，若AB=AM，求证：BM∥CE；（2）如图2，延长BC至D，使得CD=BC，连结DE，若AB=BD

Question

已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，在△ABC外作直角三角形ACE，∠ACE=90°
（1）如图1，过点C作CM⊥AE，垂足为M，连结BM，若AB=AM，求证：BM∥CE；
（2）如图2，延长BC至D，使得CD=BC，连结DE，若AB=BD，∠EAC=45°，AE=√(10)，求四边形ABDE的面积．

Answer 1

（1）证明：如图1中，

∵CM⊥AE，
∴∠ABC=∠AMC=90°，
在Rt△ACB和Rt△ACM中，

AC=AC

AB=AM

，
∴Rt△ACB≌Rt△ACM，
∴BC=CM，∵AB=AM，
∴BM⊥AC，
∵∠ACE=90°，
∴AC⊥CE，
∴BM∥CE．

（2） 如图2中，作EF⊥BD于F．

∵∠ACE=90°，∠EAC=45°，
∴∠CAE=∠CEA=45°，
∴CA=CE，∵AE=√(10)，
∴AC=CE=√(5)，
在Rt△ABC中，∵AB=2BC，
∴BC²+4BC²=5，
∴BC=1，AB=2，
∴CB=CD=1，
∵∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠ECF=90°，
∴∠BAC=∠ECF，
在△ABC和△CFE中，

∠B=∠F=90°

∠CAB=∠ECF

AC=CE

，
∴△ABC≌△CFE，
∴BC=EF=1，
∴S_{四边形ABDE}=S_△ABC+S_△ACE+S_△CDE=(1)/(2)×1×2+(1)/(2)×√(5)×√(5)+(1)/(2)×1×1=4．