如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.(1)试说明CE是⊙O的切线;(2)若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代
如图,在 △ACE 中, CA=CE , ∠CAE=30° , ⊙O 经过点 C ,且圆的直径 AB 在线段 AE 上.
( 1 )试说明 CE 是 ⊙O 的切线;
( 2 )若 △ACE 中 AE 边上的高为 h ,试用含 h 的代数式表示 ⊙O 的直径 AB ;
( 3 )设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点),连接 OD ,当 CD+OD 的最小值为 6 时,求 ⊙O 的直径 AB 的长.
( 1 )连接 OC ,如图 1 ,
∵CA=CE , ∠CAE=30° ,
∴∠E=∠CAE=30° , ∠COE=2∠A=60° ,
∴∠OCE=90° ,
∴CE 是 ⊙O 的切线;
( 2 )过点 C 作 CH⊥AB 于 H ,连接 OC ,如图 2 ,
由题可得 CH=h .
在 Rt△OHC 中, CH=OC•sin∠COH ,
∴h=OC•sin60°= OC ,
∴OC= =
h ,
∴AB=2OC= h ;
( 3 )作 OF 平分 ∠AOC ,交 ⊙O 于 F ,连接 AF 、 CF 、 DF ,如图 3 ,
则 ∠AOF=∠COF= ∠AOC=
( 180° ﹣ 60° ) =60° .
∵OA=OF=OC ,
∴△AOF 、 △COF 是等边三角形,
∴AF=AO=OC=FC ,
∴ 四边形 AOCF 是菱形,
∴ 根据对称性可得 DF=DO .
过点 D 作 DH⊥OC 于 H ,
∵OA=OC , ∴∠OCA=∠OAC=30° ,
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°= DC ,
∴ CD+OD=DH+F
D .
根据两点之间线段最短可得:
当 F 、 D 、 H 三点共线时, DH+FD (即 CD+OD )最小,
此时 FH=OF•sin∠FOH= OF=6 ,
则 OF=4 , AB=2OF=8
.
∴ 当 CD+OD 的最小值为 6 时, ⊙O 的直径 AB 的长为 8
.
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