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如图1和图2,∠ACB=90°,AC=BC,BD⊥DE,AE⊥DE,垂足分别为D、E.(1)图1中,①证明:△ACE∽△CBD;②若AE=a,BD=b,计算△ACB的面积.(2)图2中,若AE=a,BD=b,(b>a)计算梯形ADBE的面积.
题目详情
如图1和图2,∠ACB=90°,AC=BC,BD⊥DE,AE⊥DE,垂足分别为D、E.
(1)图1中,①证明:△ACE∽△CBD;②若AE=a,BD=b,计算△ACB的面积.
(2)图2中,若AE=a,BD=b,(b>a)计算梯形ADBE的面积.
(1)图1中,①证明:△ACE∽△CBD;②若AE=a,BD=b,计算△ACB的面积.
(2)图2中,若AE=a,BD=b,(b>a)计算梯形ADBE的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)①证明:∵∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠BCD=180°-90°=90°,
∵BD⊥DE,AE⊥DE,
∴∠E=∠D=90°,在△ACE中,
∠ACE+∠CAE=180°-∠E=90°,
∴∠CAE=∠BCD,
∴△ACE∽△CBD;
②∵△ACE∽△CBD;
AC=BC,
∴△ACE≌△CBD,
∵AE=a,BD=b,
∴CE=b,CD=a,
∵ED为梯形AEDB的高,
∴△ACB的面积=梯形AEDB面积-△ACE面积-△CBD的面积,
=
×DE-
AE×EC-
BD×DC,
=
×(a+b)-
ab-
ab,
=
(a2+b2),
(2)∵△ACE≌△CBD(已证),
∴CD=AE,CE=BD,
∵AE=a,BD=b,
∴CE=b,CD=a,
∴DE=CE-CD=b-a,
∴梯形ADBE面积=
×DE,
=
×(b-a),
=
.
∴∠ACE+∠BCD=180°-90°=90°,
∵BD⊥DE,AE⊥DE,
∴∠E=∠D=90°,在△ACE中,
∠ACE+∠CAE=180°-∠E=90°,
∴∠CAE=∠BCD,
∴△ACE∽△CBD;
②∵△ACE∽△CBD;
AC=BC,
∴△ACE≌△CBD,
∵AE=a,BD=b,
∴CE=b,CD=a,
∵ED为梯形AEDB的高,
∴△ACB的面积=梯形AEDB面积-△ACE面积-△CBD的面积,
=
AE+BD |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
a+b |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
(2)∵△ACE≌△CBD(已证),
∴CD=AE,CE=BD,
∵AE=a,BD=b,
∴CE=b,CD=a,
∴DE=CE-CD=b-a,
∴梯形ADBE面积=
AE+BD |
2 |
=
a+b |
2 |
=
b2−a2 |
2 |
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