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(2014•宜春模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形,E为PD上一点,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE.(I)若F为PE的中点,求证BF∥平面ACE;(Ⅱ)求三棱锥P-ACE的体积.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/30adcbef76094b36d3cfdd5ca0cc7cd98d109d26.jpg)
(I)若F为PE的中点,求证BF∥平面ACE;
(Ⅱ)求三棱锥P-ACE的体积.
▼优质解答
答案和解析
(I)若F为PE的中点,由于底面ABCD为矩形,E为PD上一点,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE,故E、F都是线段PD的三等分点.
设AC与BD的交点为O,则OE是△BDF的中位线,故有BF∥OE,而OE在平面ACE内,BF不在平面ACE内,故BF∥平面ACE.
(II)由于侧棱PA丄底面ABCD,且ABCD为矩形,故有CD⊥PA,CD⊥AD,故CD⊥平面PAE,.
三棱锥P-ACE的体积VP-ACE=VC-PAE=
S△PAE•CD=
•(
•S△PAD)•AB=
(
•
•PA•PD)•AB=
•PA•PD•AB=
•1•2•1=
.
设AC与BD的交点为O,则OE是△BDF的中位线,故有BF∥OE,而OE在平面ACE内,BF不在平面ACE内,故BF∥平面ACE.
(II)由于侧棱PA丄底面ABCD,且ABCD为矩形,故有CD⊥PA,CD⊥AD,故CD⊥平面PAE,.
三棱锥P-ACE的体积VP-ACE=VC-PAE=
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