已知rt三角形abc中角acb等于九十度角cab等于三十度分别以abac为边向形外作等边三角形AD和等边三角形ACE.（1）如图1,连接线段BE、CD.求证：BE=CD；（2）连接DE交AB于点F.求证：F为DE中点

Question

已知rt三角形abc中角acb等于九十度角cab等于三十度分别以abac为边向形外作等边三角形A
D和等边三角形ACE.（1）如图1,连接线段BE、CD.求证：BE=CD；（2）连接DE交AB于点F.求证：F为DE中点

Answer 1

（1）证明：因为三角形ABD是等边三角形
所以AB=AC
角BAC=60度
因为三角形ACE是等边三角形
素以AC=AE
角CAE=60度
因为角CAD=角CAB+角BAD=60+角CAB
角EAB=角CAE+角CAB=60+角CAB
所以角CAD=角EAB
所以三角形CAD和三角形EAB全等（SAS)
所以BE=CD
（2）证明：过点D作DG垂直AB于G
所以DG是三角形ABD的垂线
因为三角形ABD是等边三角形
所以DG是等边三角形ABD的垂线,角平分线
所以AD=AB
角BAD=角ADB=60度
角AGD=90度
角ADG=角BDG=1/2角ADB=30度
因为角CAB=30度
所以角CAB=角ADB=30度
因为角ACB=90度
所以角ACB=角AGD=90度
所以三角形ACB和三角形DGA全等（AAS)
所以AC=DG
因为三角形ACE是等边三角形
所以AC=AE
角CAE=60度
所以AE=DG
因为角BAE=角CAE+角CAB=30+60=90度
所以角BAE=角AGD=90度
因为角AFE=角GFD（对顶角相等）
所以三角形AFE和三角形GFD全等（AAS)
所以EF=DF
所以F是DE的中点